rozwiązanie zadania 4.3

macros.tex

@@ -24,6 +24,12 @@
 \let\oldthetask\thetask
 \let\oldthesubtask\thesubtask
 
+\renewcommand\leq\leqslant
+\renewcommand\geq\geqslant
+
+\let\oldemptyset\emptyset
+\renewcommand\emptyset\varnothing
+
 \renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
 \renewcommand{\thesubtask}{\alph{subtask}}
 \renewcommand{\thetask}{\thesection.\oldthetask}
@@ -60,6 +66,7 @@
 
 \newcommand{\NP}{\texttt{NP}\xspace}
 \newcommand{\NPC}{\texttt{NPC}\xspace}
+\newcommand{\NPH}{\texttt{NPH}\xspace}
 \newcommand{\NPI}{\texttt{NPI}\xspace}
 \renewcommand{\P}{\texttt{P}\xspace}
 
@@ -86,6 +93,3 @@
 \floatstyle{plain}
 \newfloat{program}{thp}{lop}
 \floatname{program}{Program}
-
-\renewcommand\leq\leqslant
-\renewcommand\geq\geqslant

part-2/2013.tex

@@ -343,24 +343,24 @@ Co za tym idzie, z definicji przybliżalności wynika, że:
 
     ponieważ wiemy, że liczba krawędzi w grafie jest zawsze liczbą naturalną ($N_\text{opt} \in \mathbb{N}$ oraz $N \in \mathbb{N}$),
     wystarczy że w nierówności \ref{eqn:2013:fptas} będzie spełniony warunek
-
     \begin{equation}
         \label{eqn:2013:fptas-condition}
         N\varepsilon < 1
     \end{equation}
 
     A uzyskamy
-
     \begin{equation*}
         N \leq N_\text{opt} \leq N + N\varepsilon \Rightarrow N \leq N_\text{opt} \leq N
     \end{equation*}
     \begin{equation*}
         N_\text{opt} = N
     \end{equation*}
-
     czyli algorytm zwróci nam odpowiedź dokładną.
 
-Należy więc udowodnić że dla każdych danych wejściowych jesteśmy w stanie znaleźć dostatecznie mały $\varepsilon$, który spowoduje że nasza odpowiedź będzie dokładna. Aby tego dokonać ograniczmy przybliżoną odpowiedź algorytmu z dołu. Oczywistym jest, że w grafie o $m$ krawędziach nie będzie grafu o ilości krawędzi $N$ większej niż $m$, a już na pewno większej niż $m+1$:
+    Należy więc udowodnić że dla każdych danych wejściowych jesteśmy w stanie znaleźć dostatecznie mały $\varepsilon$, 
+    który spowoduje że nasza odpowiedź będzie dokładna. Aby tego dokonać ograniczmy przybliżoną odpowiedź algorytmu z 
+    dołu. Oczywistym jest, że w grafie o $m$ krawędziach nie będzie grafu o ilości krawędzi $N$ większej niż $m$, a już
+    na pewno większej niż $m+1$:
     \begin{equation*}
         N < m + 1
     \end{equation*}

part-2/2018.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-%! TEX root = main.tex
+%! TEX root = ../main.tex
 
 \section{25.01.2018 kolokwium \#2}
 \task Rozważ problem wyznaczania wartości indeksu chromatycznego $n$-wierzchołkowego grafu $G$, czyli $\chi'(G)$. 
@@ -128,15 +128,48 @@ Uzasadnij prawdziwość lub fałszywość następujących twierdzeń dotyczącyc
 \begin{table}[H]
     \centering
     \begin{tabular}{rl|c|c}
-        & klasa & Weryfikowalne & Rozwiązywalne \\\hline
+        & klasa & Weryfikowalne \dag & Rozwiązywalne \dag \\\hline
         \subtask & \P & & \\
         \subtask & \NP & & \\
         \subtask & \NPC & & \\
         \subtask & \NP-trudne & & \\
     \end{tabular}
 \end{table}
+\noindent\dag\ w czasie wielomianowym
 \note{W niektórych wypadkach więcej niż jedna odpowiedź jest poprawna}
 
+\begin{solution}
+    Z definicji, problemy klasy \P da się rozwiązać w czasie wielomianowym - a ponieważ da się je rozwiązać to również 
+    da sie sprawdzić poprawnosć rozwiązania (wystarczy rozwiązać i porównać) w czasie wielomianowym. 
+
+    Wiadomo, że wszystkie problemy z klasy \NP są weryfikowalne w czasie wielomianowym - nie wiemy natomiast czy
+    problemy te możemy w czasie wielomianowym rozwiązać. Jednak należy pamiętać, że klasa $\P \subseteq \NP$ - zatem w 
+    klasie \NP z pewnością są też problemy, które możemy rozwiązać w czasie wielomianowym.
+
+    Ponieważ $\NPC \subseteq \NP$ to na pewno ich rozwiązania da się zweryfikować w czasie wielomianowym. Gdybyśmy wiedzieli
+    jednak, że jakiegoś problemu \NPC nie da się rozwiązać w czasie wielomianowym to znaczyłoby to, że $\P \neq \NP$,
+    podobnie gdybyśmy wiedzieli, że któryś problem \NPC da się rozwiązać w czasie wielomianowym to na pewno prawdą
+    byłoby, że $\P = \NP$. A że nie wiemy czy $\P = \NP$ tak też nie wiemy nic na temat rozwiązywalności problemów \NPC
+    w czasie wielomianowym.
+
+    Problemy \NP-trudne to problemy conajmniej tak trudne jak najtrudniejsze problemy w klasie \NP, zatem w pewnym
+    sensie prawdą jest, że $\NPC = \NP \cap \NPH$. Stąd wynika, że w klasie \NPH na pewno są problemy, które da się
+    zweryfikować w czasie wielomianowym, o których rozwiązaniu nic nie wiadomo. Ponieważ jednak są to propblemy
+    \textit{conajmniej} tak trudne to klasa ta zawiera też problemy niealgorytmiczne, których nie da się ani rozwiązać
+    ani zweryfikować w czasie rzeczywistym.
+
+    \begin{table}[H]
+        \centering
+        \begin{tabular}{rl|c|c}
+            & klasa & Weryfikowalne \dag & Rozwiązywalne \dag \\\hline
+            \subtask & \P & \textbf{TAK} & \textbf{TAK} \\
+            \subtask & \NP & \textbf{TAK} & \textbf{TAK}, \textbf{NW} \\
+            \subtask & \NPC & \textbf{TAK} & \textbf{NW} \\
+            \subtask & \NP-trudne & \textbf{TAK}, \textbf{NIE} & \textbf{NW}, \textbf{NIE} \\
+        \end{tabular}
+    \end{table}
+\end{solution}
+
 \task Algorytm \textit{Largest First} (\problem{LF}) dla kolorowania wierzchołków grafu maluje je zachłannie
 poczynając od wierzchołka o najwyższym stopniu i kończąc na weierzchołku o najniższym stopniu.
 \subtask Oszacuj złożoność obliczeniową algorytmu \problem{LF} jako funnkcję $n$ za pomocą symbolu $\Theta$
@@ -146,11 +179,10 @@ poczynając od wierzchołka o najwyższym stopniu i kończąc na weierzchołku o
 \subtask Udowodnij, że \problem{LF} jest $k$-bezwzględnie aproksymacyjny i $l$-wzzględnie aproksymacyjny w odniesieniu 
 do grafów kubicznych tj. ustal wartości k i l
 
-\task \textit{Kolorowanie Kosztowe} (\problem{KK}) polega na tym, że kolory mają swoje koszty
+\task \textit{Kolorowanie Kosztowe} (\problem{KK}) polega na tym, że kolory mają swoje koszty $c_1 \leq c_2 \leq \ldots
-$c_1 \leq c_2 \leq \ldots \leq c_n$ i za każdym razem, gdy kolorujemy kolejny wierzchołek, przydzielamy mu koszt tego
+\leq c_n$ i za każdym razem, gdy kolorujemy kolejny wierzchołek, przydzielamy mu koszt tego koloru. Problem polaga na
-koloru. Problem polaga na tym, by tak pokolrowoać graf aby sumaryczny koszt kolorowania $\text{skk}(G)$ wszystkich 
+tym, by tak pokolrowoać graf aby sumaryczny koszt kolorowania $\text{skk}(G)$ wszystkich wierzchołków był jak
-wierzchołków był jak najmniejszy. Udowodnij, że nawet jeżeli $c_1 = c_2 = \ldots = c_k \leq c_{k+1}$ to problem ten
+najmniejszy. Udowodnij, że nawet jeżeli $c_1 = c_2 = \ldots = c_k \leq c_{k+1}$ to problem ten jest \NP-trudny.
-jest \NP-trudny.
 
 \begin{solution}
     Aby udowodnić, że problem jest \NP-trudny musimy udowodnić, że jego wersja decyzyjna jest \NPC. W wypadku tego 
@@ -177,7 +209,7 @@ jest \NP-trudny.
     poniesiemy będzie na pewno większy niż $n$. Zatem graf da się pokolorować kosztem $n$ tylko kiedy graf da się 
     pokolorować $k$ kolorami, gdzie koszt każdego koloru wynosi $1$. Nasza $\alpha$-redukcja będzie zatem następująca:
     \begin{equation*}
-        G, k \rightarrow \underset{G}{G}, \underset{c}{n}, \underset{c_k}{1}, \underset{k}{k}, \underset{c_{k+1}}{2}, \underset{c_{k+1}}{2}, \ldots
+        G, k \rightarrow \underset{G}{G}, \underset{c}{n}, \underset{c_k}{1}, \underset{k}{k}, \underset{c_{k+1}}{2}, \underset{c_{k+2}}{2}, \ldots
     \end{equation*}
 \end{solution}