%! TEX root = main.tex

\section{25.01.2018 kolokwium \#2}
\task Rozważ problem wyznaczania wartości indeksu chromatycznego $n$-wierzchołkowego grafu $G$, czyli $\chi'(G)$. 
Uzasadnij prawdziwość lub fałszywość następujących twierdzeń dotyczących tego problemu. 
\subtask Istnieje algorytm 1-absolutnie aproksymacyjny o złożoności $O(n)$ \label{task:2018:1}
\subtask Istnieje algorytm $\frac{3}{2}$-względnie aproksymacyjny
\subtask Istnieje algorytm $\frac{4}{3}$-względnie aproksymacyjny
\subtask Istnieje algorytm $\frac{5}{4}$-względnie aproksymacyjny
\subtask Istnieje schemat aproksymacyjny o złożoności niewielomianowej
\subtask Istnieje całkowicie wielomianowy schemat aproksymacyjny

\task Problem istnienia cyklu Hamiltona w grafie $G$ należy do klasy \NP. Udowodnij ten fakt.

\task Wypełnij poniższą tabelę wpisując do niej \textbf{TAK}, \textbf{NIE}, \textbf{NW} (Nie Wiadomo).
\begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{rl|c|c}
        & klasa & Weryfikowalne & Rozwiązywalne \\\hline
        \subtask & \P & & \\
        \subtask & \NP & & \\
        \subtask & \NPC & & \\
        \subtask & \NP-trudne & & \\
    \end{tabular}
\end{table}
\note{W niektórych wypadkach więcej niż jedna odpowiedź jest poprawna}

\task Algorytm \textit{Largest First} (\problem{LF}) dla kolorowania wierzchołków grafu maluje je zachłannie
poczynając od wierzchołka o najwyższym stopniu i kończąc na weierzchołku o najniższym stopniu.
\subtask Oszacuj złożoność obliczeniową algorytmu \problem{LF} jako funnkcję $n$ za pomocą symbolu $\Theta$
\subtask Udowodnij, że \problem{LF} optymalnie koloruje cykle $C_4$ i $C_5$ ale suboptymalnie $C_6$
\subtask Wykonaj algorytm \problem{LF} na załączonym grafie
\subtask Udowodnij, że algorytm \problem{LF} nie jest aproksymacyjny, tj. nie istnieje stałą $c$ taka, że $\mathtt{LF}(G) \leq c \cdot \chi(G)$
\subtask Udowodnij, że \problem{LF} jest $k$-bezwzględnie aproksymacyjny i $l$-wzzględnie aproksymacyjny w odniesieniu 
do grafów kubicznych tj. ustal wartości k i l

\task \textit{Kolorowanie Kosztowe} (\problem{KK}) polega na tym, że kolory mają swoje koszty
$c_1 \leq c_2 \leq \ldots \leq c_n$ i za każdym razem, gdy kolorujemy kolejny wierzchołek, przydzielamy mu koszt tego
koloru. Problem polaga na tym, by tak pokolrowoać graf aby sumaryczny koszt kolorowania $\text{skk}(G)$ wszystkich 
wierzchołków był jak najmniejszy. Udowodnij, że nawet jeżeli $c_1 = c_2 = \ldots = c_k \leq c_{k+1}$ to problem ten
jest \NP-trudny.

\task Alicja jest częstym klientem sklepu \textit{SuperShop} i uzbierała 5 kuponów rabatowych o różnych wartościach
zniżek. Ma zapisane na liście zakupowej $n$ produktów, które chce dzisiaj kupić oraz ich ceny. Chce pójść dzisiaj do 
sklepu bez gotówki i kupić wybrane produkty używajac tylko kuponów. Nie chce natomiast zmarnować żadnego kuponu, czyli
używa tylko tych, których wartość zostanie w pełni wykorzystana. Zastnawia się czy istnieje zestaw produktów i 
odpowiednia kombinacja kuponów, by mogła pójść na zakupy i kupić cokolwiek?

\note{Wszystkie kwoty są zaokrąglane do pełnych złotówek}

\subtask Spróbuj ułożyć algorytm wielomianowy, który rozwiązuje ten problem
\subtask Jeśli nie potrafisz, udowodnij jego \NP-zupełność